前言#

首先看到P4525 【模板】自适应辛普森法 1。这题是很好的辛普森板题，但是用牛顿-莱布尼茨公式就可以算出答案：

当 $a=0$ 时，

当 $a\not=0$ 时，

虽然这样我们就可以通过这题，但是肯定还要讲一下自适应辛普森法。

算法介绍#

$\text{Simpson}$ 法的思想是将原曲线近似为一段段抛物线，再求每一段的面积。具体地，我们令 $f(x)=\frac{c x+d}{a x+b}, g(x)=A x^2+B x+C$ 为拟合函数，则有

介绍完 $\text{Simpson}$ 法后我们再回过头看这题。

题解#

题目要求$\int_0^{\infty}x^{\frac{a}{x}-x}\text{d}x$，肯定不能用牛顿-莱布尼茨公式。经过讨论可得：

当 $a<0$ 时，$\lim _{x \rightarrow 0} x^{\frac{a-x^2}{x}}=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a-x^2}{x} \ln x}=+\infty$ ，原函数发散，输出 $\text{orz}$。

当 $a \geq 0$ 时。 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2 x^{\frac{a-x^2}{x}}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a-x^2+2 x}{x} \ln x}=0$ ，原函数收敛。用 $\text{Simpson}$ 法解决即可。

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#include<bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const double eps=1e-10;
4
double a;
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double f(double x){return pow(x,a/x-x);}
6
double Simpson(double l,double r){return (f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))*(r-l)/6;}
7
double Query(double l,double r,double t){
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 double mid=(l+r)/2,x=Simpson(l,mid),y=Simpson(mid,r);
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 if(fabs(x+y-t)<=1e-9)return t;
10
 else return Query(l,mid,x)+Query(mid,r,y);
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}
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int main(){
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 cin>>a;
14
 if(a<0)return cout<<"orz",0;
15
 cout<<fixed<<setprecision(5)<<Query(eps,20,Simpson(eps,20));
16
}